Seznam trigonometrických vzorců

V matematice, trigonometrické vzorce jsou equalities, které zahrnují goniometrické funkce, které jsou pravdivé pro každou jedinou hodnotu nastávajících proměnných. Tyto identity jsou užitečné kdykoli výrazy zahrnovat goniometrické funkce potřeba být zjednodušen. Důležitá aplikace je začleněnní non-goniometrické funkce: běžný trik zahrnuje první používání substituční pravidlo se goniometrickou funkcí, a pak zjednodušovat vyplývání základní s trigonometrickou identitou.

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem List of trigonometric identities. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Notace

Se vyhnout zmatku zaviněnému dvojznačností hříchu? 1 (x), reciprocals a inverses goniometrických funkcí jsou často zobrazováni jak v této tabulce. V reprezentovat funkci kosekansa, delší forma ' cosec ' je někdy používán v místě ' csc '.

Různé úhlové míry mohou být vhodné v různých situacích. Tento stůl ukazuje některé ty více obyčejné systémy. Radians je standardní úhlová míra a je jeden vy používáte jestliže vy používáte exponenciální definice. Všechny úhlové míry jsou unitless.

Základní vztahy

Od dvou identit nahoře, následující stůl může být extrapolován. Poznámka nicméně že tyto rovnice konverze nemohou poskytovat správné znamení (+ nebo?). Například, jestliže hřešit  ?   =   1/2, přeměna v tabulce ukáže to, ačkoli to je možné, že. Více informací by bylo potřebované o kterém kvadrantu? leží v určovat jednu, přesnou odpověď. Toto jen platí o transformacích s funkcí druhé odmocniny.

Historické shorthands

Versine, coversine, haversine a exsecant byli používáni v navigaci. Například haversine rovnice byla používána vypočítat vzdálenost mezi dvěma body na kouli. Oni jsou zřídka použití dnes.

Symetrie, posuny a periodicity

Tím, že zkoumá kruh jednotky, následující vlastnosti goniometrických funkcí mohou být založeny.

Symetrie

Když goniometrické funkce jsou zrcadleny od jistých úhlů, výsledek je často jeden z jiných goniometrických funkcí. Toto vede k následujícím identitám:

Posuny a periodicity

Tím, že posune kolo funkce jistými úhly, to je často možné najít různé goniometrické funkce, které vyjadřují výsledek více prostě. Některé příklady tohoto jsou ukazovány posunujícími se funkcemi dokola?/2,? a 2π radians. Protože období těchto funkcí jsou jeden? nebo 2π, tam jsou případy kde nová funkce je přesně stejná jak staří fungují bez posunu.

Součet úhlu a identity rozdílu

Tito jsou také známí jako sčítání a teorémy odčítání nebo formulæ. Nejrychlejší způsob, jak se ukázat jako tito je Eulerova rovnice.

Maticový tvar

Součet a rozdíl formulæ pro sine a cosine mohou být zapsáni maticový tvar, tak:

Sines a cosines součtů nekonečně mnoho požadavků

V těchto dvou identitách asymetrie vypadá, že to není viděné v případě sum finitely mnoho požadavků: v každém produktu, tam jen finitely mnoho faktorů sine a cofinitely mnoho faktorů cosine.

Jestliže jen finitely mnoho z požadavků?_i jsou nonzero pak jediné finitely mnoho z požadavků napravo strana bude nonzero, protože faktory sine zmizí, a v každém termínu, všichni ale finitely mnoho z cosine faktory budou jednota.

Tangenty sum finitely mnoho požadavků

Nechaný e_k být kth-míra základní symmetric polynomial v proměnných x_i  =   opalovat se (?_i ), pro i  =   1,  ...,  n, k  =   0,  ...,  n. Pak

množství požadavků spoléhat se na n.

Například:

a tak dále. Obecný případ může být dokázaný matematickým přerušením.

Secants sum finitely mnoho požadavků

kde e_k je kth-míra základní symmetric polynomial v n proměnné x_i  =   opalovat se  ?_i, i  =   1,  ...,  n, a množství požadavků ve jmenovateli závisí na  n.

Například,

Násobek-nastavit rovnice

(Tato funkce x je Dirichlet jádro.)

Dvojitý -, trojnásobný -, a napůl-nastavit rovnice

Tito mohou být ukazováni používáním jeden součet a identity rozdílu nebo násobek-nastavit rovnice.

Předpis pro práci na počítači trigonometrické vzorce pro třetinu-úhel existuje, ale to potřebuje najít nuly kubické rovnice, kde x je hodnota funkce sine v nějakém úhlu a d je známá hodnota funkce sine v trojnásobném úhlu. Nicméně, discriminant této rovnice je negativní, tak tato rovnice má tři skutečné kořeny (který jen jeden je řešení uvnitř správné třetiny-kroužit) ale žádný z těchto řešení je reducible ke skutečnému algebraickému výrazu, jak oni používají přechodná komplexní čísla pod kubickými kořeny, (který může být vyjádřen v termínech skutečný-jediné funkce jen když používá hyperbolické funkce). Jako důsledek, to není možné vyjádřit trigonometrické hodnoty úhlů, které nejsou násobky 3 mír dělených nějakou sílou dva, jestliže používá skutečný-jediný algebric výraz (například hřešit (1 ° )).

Sine, cosine, a tangenta násobku se natočí

opalovat se   nθ moci být zapsané požadavky opalovat se  ? používat vztah opakování:

dětská postýlka   nθ moci být zapsán podmínky dětské postýlky  ? používat vztah opakování:

Tangenta průměru

Nastavení jeden? nebo? k 0 dává obvyklou tangentovou polovinu-úhel formulæ.

Eulerův nekonečný součin

Síla-redukční vzorce

Trval tím, že řeší sekundu a třetí verze cosine dvojitý-nastavit rovnici.

a obecně podmínky sil hřešit?? nebo cos?? pokračování je pravdivé, a moci být dedukovalo používání De Moivre rovnice, Eulerova rovnice a binomický rozvoj.

Produkt-k-sčítat a sčítat-k-identity produktu

Produkt-k-identity součtu mohou být dokázané tím, že rozšíří jejich pravé strany používat úhlové sčítací teorémy. Vidět rázový kmitočet pro použití součtu-k-produkt formulæ.

Jiné příbuzné identity

Jestliže x, y, a z jsou tři úhly nějakého trojúhelníku, nebo jinými slovy

(Jestliže některý x, y, z je pravý úhel, jeden by měl vyžadovat obě strany být?. Toto je žádný +? ani??; pro účely daru to dává smysl přidat spravedlivý jeden bod u nekonečna k reálné ose, to je osloveno opalovat se (?) jak opalovat se (?) jeden zvýšení přes pozitivní hodnoty nebo poklesy přes negativní hodnoty. Toto je jeden-bod compactification reálné osy.)

Ptolemy teorém

(První tři equalities jsou triviální; čtvrtý je substance této identity.) nezbytně toto je Ptolemy teorém přizpůsobený k jazyku trigonometrie.

Lineární kombinace

Pro některé účely to je důležité vědět, že nějaká lineární kombinace sine vln stejného období ale různých fázových posunů je také sine vlna se stejným obdobím ale různý fázový posun. V případě lineární kombinace sine a vlny cosine (který je jen sine vlna s fázovým posunem?/2), my máme

kde

nebo equivalently

Více obecně, pro libovolný fázový posun, my máme

kde

a

Jiné sumy goniometrických funkcí

Suma sines a cosines s argumenty v aritmetické řadě:

Pro některého a b:

kde atan2 (y, x) je zevšeobecňování arctan (y/x) který pokryje celý kruhový rozsah.

Nahoře identita je někdy vhodná vědět to když myslí na Gudermannian funkci, který líčí oběžník a hyperbolické goniometrické funkce bez uchylovat se ke komplexním číslům.

Jestliže x, y, a z jsou tři úhly nějakého trojúhelníku, tj. jestliže x   +   y   +   z   =  ?, pak

Jistý lineární nepatrné transformace

Jestliže? (x) je dán lineární nepatrnou transformací

a podobně

pak

Více tersely říkalo, jestliže pro všechny ? my jsme nechali ?_? být co my jsme volali ? nahoře, pak

Jestliže x je sklon linky, pak? (x) je sklon jeho rotace přes úhel??.

Inverzní goniometrické funkce

Složení vyfintit a inverzní vyfintit funkce

Vztah ke komplexní exponenciální funkci

a od této doby důsledek:

kde i2 =? 1.

Rovnice nekonečného součinu

Pro použití ve zvláštních funkcích, následující nekonečné produktové předpisy pro trigonometrické funkce jsou užitečné:

Identity bez proměnných

Zvědavá identita

je zvláštní případ identity, která obsahuje jednu proměnnou:

Podobný-dívat se identita je

a navíc

Pokračování je možná ne jak rychle celkový k identitě obsahovat proměnné (ale vidět dole vysvětlení):

Míra míry přestane být vhodnější než míra radian, když my zvažujeme tuto identitu s 21 v jmenovatelích:

Faktory 1, 2, 4, 5, 8, 10   smět začít objasnit vzor: oni jsou ta celá čísla méně než 21/2 to být relativně připravit k (nebo mají žádné primární faktory v obyčejný s) 21. Minule několik příkladů je důsledky základního fakta o nesnížitelném cyclotomic polynomials: cosines jsou skutečné díly nul těch polynomials; suma nul je Möbius funkce ocenila u (v úplně posledním případě nahoře) 21; jediná polovina nul být přítomný nahoře. Dvě identity předcházet tomuto poslední vyvstávat ve stejné módě s 21 nahradil 10 a 15, příslušně.

Práce na počítači?

Účinný způsob, jak vypočítat? je založený na následující identitě bez proměnných, kvůli Machinu:

nebo, jinak, tím, že používá totožnost Eulera:

Užitečná mnemotechnická pomůcka pro jisté hodnoty sines a cosines

Pro jisté jednoduché úhly, sines a cosines nabýt tvar pro 0  ?   n  ?   4, který usnadňuje je si pamatovat.

Jiné zajímavé hodnoty

Se zlatým poměrem?:

Také vidět přesné trigonometrické konstanty.

Počet

V počtu vztahy říkaly dole vyžadovat, aby úhly byl změřen v radians; vztahy by staly se více komplikované jestliže úhly byly změřeny v další jednotce takový jako míry. Jestliže goniometrické funkce jsou definovány v podmínkách geometrie, jejich deriváty mohou být najity tím, že prověří dva limity. První je:

ověřil používat kruh jednotky a teorém stisknutí. To může být svůdné se ucházet o užívací L'Hôpital pravidlo založit tento limit. Nicméně, jestliže jeden používá tento limit aby dokázal, že derivát sine je cosine, a pak používá skutečnost, že derivát sine je cosine v použití L'Hôpital pravidla, jeden je úvaha circularly — logický klam. Druhý limit je:

ověřil používat identitu opalovat se (x/2)   =   (1  ?   cos   x) / hřešit   x. mít založil tyto dva limity, jeden může používat limitovou definici derivátu a teorémy sčítání ukazovat to (hřešit   x)?   =   cos   x a (cos   x)?   =  ? hřešit   x. jestliže sine a cosine funkce jsou definovány jejich Taylor sériemi, pak deriváty mohou být najity tím, že rozliší termín mocninové řady-- termín.

Zbytek goniometrických funkcí může být rozlišil používání nad identitami a pravidly rozdílnosti:

Základní identity mohou být nalezené v “seznamu integrals goniometrických funkcí”. Některé druhové formy jsou níže uvedeny.

Implikace

Skutečnost, že rozdílnost goniometrických funkcí (sine a cosine) výsledky v lineárních kombinacích stejný dvě funkce je základní důležitosti k mnoha polím matematiky, včetně diferenciálních rovnic a Fourier převádí.

Exponenciální definice

Rozmanitý

Dirichlet jádro

Dirichlet jádro D_n(x) je nastávání funkce na obou stranách příští identity:

Konvoluce nějaké integrable funkce období 2π s Dirichlet jádro se shoduje s nth funkce-stupňové Fourier přiblížení. Stejný držení pro nějakou míru nebo celkovou funkci.

Rozšíření poloviny-nastavit rovnice

Jestliže my jsme zapadli

pak

kde e^ix je stejný jak cis (x).

Tato náhrada t pro opalovat se (x/2), s následujícím nahrazením hříchu (x) ^2t / (1   +   t2) a cos (x) (1  ?   t2) / (1   +   t2) je užitečný v počtu pro konvertující racionální funkce v hříchu (x) a cos (x) k funkcím t aby shledají jejich antiderivatives. Pro další informace vidět polovinu tangenty-nastavit rovnici.

Viz též

Odkazy

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), příručka matematických funkcí s rovnicemi, grafy a matematickými stoly, New York: Dover publikace, ISBN 978-0-486-61272-0 

Externí odkazy

• Hodnoty Sina a Cos, vyjadřovaný v surds, pro násobky celého čísla 3 ° a 5? °, a pro stejné úhly Csc a Sec a Tan.